El área del borde, o contenido de Minkowski, de un compacto convexo es no decreciente respecto a la inclusión, es decir:
Si $K,K'\in {\cal K}^n$ cumplen $K\subseteq K'$ entonces $A(K)\leq A(K')$.
Está claro que la propiedad no es cierta si quitamos la hipótesis de convexos sobre $K$ y $K'$.
Esta propiedad aparentemente simple esconde implicaciones sutiles, relacionada con el mismo concepto de área del borde de un dominio. Para entender esta sutileza, recordemos de la asignatura de Geometría de Curvas y Superficies que la longitud de una curva puede verse como el límite de las longitudes de poligonales con vértices en puntos de la curva, cuando estas poligonales van haciéndose más y más próximas a la curva. Esta idea de longitud por aproximación era aceptada comúnmente en el siglo XIX para definir el área del borde de un dominio como el límite de las áreas de superficies poliédricas inscritas en este dominio, hasta que en 1882, Peano cayó en construir un contraejemplo donde las superficies poliédricas se definen a partir de dos números naturales, y parciales diferentes de la misma construcción tienen límites distintos, con lo cual la propiedad de aproximación para superficies poliédricas no puede ser cierta en general (sí lo es si las superficies son borde de convexos). La historia del contraejemplo de Peano también esconde otras curiosidades, como el hecho de que Peano y Schwarz encontraran el mismo contraejemplo, simultáneamente y de forma indepdendiente. Os dejo un enlace a la web de Frederick Rickey, para que podáis leer los detalles de la historia.
domingo, 1 de diciembre de 2013
miércoles, 23 de octubre de 2013
El teorema de Helly, el lema de Radon y puntos centrales
El concepto de punto central para un subconjunto finito $A\subset \mathbb{R}^n$ es una generalización de concepto de punto medio en una dimensión. Grosso modo, un punto centtal es un punto de forma que cualquier hiperplano que pase por él particiona $A$ en dos subconjuntos razonablemente equilibrados. Este concepto tiene innumerables aplicaciones prácticas, por ejemplo para encuadrar una cámara que tome imágenes computerizadas a partir de un análisis de una cantidad finita de datos espaciales.
El teorema de Helly se usa para probar la existencia de puntos centrales, y el lema de Radon se usa para producir algoritmos de cálculo de puntos centrales con complejidad lineal. No entraremos en detalles sobre estos conceptos, que pertenecen a la geometría computacional y nos pueden dar una idea de cómo la geometría de convexos, un campo totalmente teórico dentro de las matemáticas, tiene aplicaciones prácticas en disciplinas aparentemente alejadas.
Si os interesa leer más sobre esto, os dejo aquí un link a las notas en pdf de una conferencia en la School of Technology and Computer Science, que pertenece al prestigioso Instituto de Investigación Tata (Bombay, India) sobre este tema.
El teorema de Helly se usa para probar la existencia de puntos centrales, y el lema de Radon se usa para producir algoritmos de cálculo de puntos centrales con complejidad lineal. No entraremos en detalles sobre estos conceptos, que pertenecen a la geometría computacional y nos pueden dar una idea de cómo la geometría de convexos, un campo totalmente teórico dentro de las matemáticas, tiene aplicaciones prácticas en disciplinas aparentemente alejadas.
Si os interesa leer más sobre esto, os dejo aquí un link a las notas en pdf de una conferencia en la School of Technology and Computer Science, que pertenece al prestigioso Instituto de Investigación Tata (Bombay, India) sobre este tema.
lunes, 21 de octubre de 2013
Sobre el Teorema de Helly
En clase hemos probado el Teorema de Helly:
Si en una colección finita de $k\geq n+1$ convexos de $\mathbb{R}^n$ cualquier subcolección de $n+1$ convexos tiene intersección no vacía, entonces la colección completa tiene intersección no vacía.
La historia de este resultado lleva aparejada una (aparente) injusticia. Eduard Helly (Viena 1884 - Chicago 1943) publicó una demostración del teorema que lleva su nombre en 1923, dos años después de que Johann Karl August Radon (Tetschen, Austria 1887 - 1956) publicara su propia demostración. ¿Porqué entonces el teorema lleva el nombre de Helly? Alexander Soifer en su libro "Geometric Etudes in Combinatorial Mathematics" (Springer 2010) da una explicación:
El teorema fue descubierto por el matemático austríaco Eduard Helly en 1913, pero no fue publicado en ese momento. Durante la Primera Guerra Mundial, Helly era soldado en el ejército austríaco, y fue hecho prisionero en Rusia en 1914. Durante su cautiverio ruso, Helly explicó su teorema a otro matemático austríaco, que también estaba preso. El teorema vivió en el folclore matemático desde esta misteriosa reunión entre dos presos matemáticos hasta 1921, cuando la primera prueba del teorema de Helly fue publicada por el matemático también austríaco Johann Radon, quien hizo ya referencia a Helly. En 1923, Helly publicó su propia prueba (distinta de la de Radon).
En el artículo "Helly's Theorem and its relatives" de Ludwig Danzer, Branko Grünbaum y Victor Klee, pueden encontrarse más detalles sobre esta historia: Helly se unió al ejército austríaco en 1914 y fue herido por los rusos y llevado prisionero a Siberia, donde coincidió con Tibor Radó. El resto de la historia es como la narra Soifer, aunque debemos añadir que en el artículo se agradece la información histórica a Elizabeth Bloch, viuda de Helly y también matemática. Hay un aspecto que no queda claro en cómo encajan las historias de Soifer y Danzer-Grünbaum-Klee: Radó era húngaro, no austríaco. Entonces, no puede ser Radó el matemático al que se refiere Soifer, luego debe haber un tercer matemático misterioso involucrado en la historia, un poco extraño dada la razonable escasez de matemáticos en las circunstancias del campo de concentración de Siberia donde Helly estuvo recluido.
Por cierto, Tibor Radó se hizo famoso por sus investigaciones sobre cálculo de variaciones y especialmente, sobre el problema de Plateau para superficies mínimas. Radó probó la existencia de solución al problema de Plateau en condiciones muy generales, un resultado fundamental que, para desgracia de Radó, fue también demostrado por el matemático americano Jessie Douglas aproximadamente en la misma fecha. Tan fundamental fue este resultado que a Douglas le valió para ganar la primera medalla Fields de la historia (compartida con Ahlfors).
Si en una colección finita de $k\geq n+1$ convexos de $\mathbb{R}^n$ cualquier subcolección de $n+1$ convexos tiene intersección no vacía, entonces la colección completa tiene intersección no vacía.
La historia de este resultado lleva aparejada una (aparente) injusticia. Eduard Helly (Viena 1884 - Chicago 1943) publicó una demostración del teorema que lleva su nombre en 1923, dos años después de que Johann Karl August Radon (Tetschen, Austria 1887 - 1956) publicara su propia demostración. ¿Porqué entonces el teorema lleva el nombre de Helly? Alexander Soifer en su libro "Geometric Etudes in Combinatorial Mathematics" (Springer 2010) da una explicación:
El teorema fue descubierto por el matemático austríaco Eduard Helly en 1913, pero no fue publicado en ese momento. Durante la Primera Guerra Mundial, Helly era soldado en el ejército austríaco, y fue hecho prisionero en Rusia en 1914. Durante su cautiverio ruso, Helly explicó su teorema a otro matemático austríaco, que también estaba preso. El teorema vivió en el folclore matemático desde esta misteriosa reunión entre dos presos matemáticos hasta 1921, cuando la primera prueba del teorema de Helly fue publicada por el matemático también austríaco Johann Radon, quien hizo ya referencia a Helly. En 1923, Helly publicó su propia prueba (distinta de la de Radon).
En el artículo "Helly's Theorem and its relatives" de Ludwig Danzer, Branko Grünbaum y Victor Klee, pueden encontrarse más detalles sobre esta historia: Helly se unió al ejército austríaco en 1914 y fue herido por los rusos y llevado prisionero a Siberia, donde coincidió con Tibor Radó. El resto de la historia es como la narra Soifer, aunque debemos añadir que en el artículo se agradece la información histórica a Elizabeth Bloch, viuda de Helly y también matemática. Hay un aspecto que no queda claro en cómo encajan las historias de Soifer y Danzer-Grünbaum-Klee: Radó era húngaro, no austríaco. Entonces, no puede ser Radó el matemático al que se refiere Soifer, luego debe haber un tercer matemático misterioso involucrado en la historia, un poco extraño dada la razonable escasez de matemáticos en las circunstancias del campo de concentración de Siberia donde Helly estuvo recluido.
Por cierto, Tibor Radó se hizo famoso por sus investigaciones sobre cálculo de variaciones y especialmente, sobre el problema de Plateau para superficies mínimas. Radó probó la existencia de solución al problema de Plateau en condiciones muy generales, un resultado fundamental que, para desgracia de Radó, fue también demostrado por el matemático americano Jessie Douglas aproximadamente en la misma fecha. Tan fundamental fue este resultado que a Douglas le valió para ganar la primera medalla Fields de la historia (compartida con Ahlfors).
viernes, 18 de octubre de 2013
Clase del lunes 21 de octubre
El próximo lunes 21 de octubre no podré impartir la clase, por coincidir con una reunión en el Instituto de Matemáticas (IEMath-GR) que no pude aplazarse. Como en otras ocasiones, comentaremos en clase cuándo podemos recuperar esa clase.
jueves, 17 de octubre de 2013
Recuperando la clase perdida
Mañana viernes de 13 a 14 recuperaremos la clase que perdimos el 7 de octubre. De momento quedamos en el aula habitual (seminario de matemáticas, planta 1).
lunes, 30 de septiembre de 2013
Clase del lunes 7 de octubre
El próximo 7 de octubre no podré impartir la clase de Geometría de Convexos por encontrarme en una reunión en Barcelona. A lo largo de los próximos días acordaremos cuándo recuperar esa hora.
lunes, 23 de septiembre de 2013
Cambio de aula
A partir de este miércoles 25 de septiembre, la clase de Geometría de Convexos se dará en el SEMINARIO DE MATEMATICAS I, en la primera planta.
Por favor, ¡ coméntaselo a tus compañeros de clase !
Por favor, ¡ coméntaselo a tus compañeros de clase !
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