Contenido de Minkowski y la paradoja de Schwarz

El área del borde, o contenido de Minkowski, de un compacto convexo es no decreciente respecto a la inclusión, es decir:
Si $K,K'\in {\cal K}^n$ cumplen $K\subseteq K'$ entonces $A(K)\leq A(K')$.

Está claro que la propiedad no es cierta si quitamos la hipótesis de convexos sobre $K$ y $K'$.
Esta propiedad aparentemente simple esconde implicaciones sutiles, relacionada con el mismo concepto de área del borde de un dominio. Para entender esta sutileza, recordemos de la asignatura de Geometría de Curvas y Superficies que la longitud de una curva puede verse como el límite de las longitudes de poligonales con vértices en puntos de la curva, cuando estas poligonales van haciéndose más y más próximas a la curva. Esta idea de longitud por aproximación era aceptada comúnmente en el siglo XIX para definir el área del borde de un dominio como el límite de las áreas de superficies poliédricas inscritas en este dominio, hasta que en 1882, Peano cayó en construir un contraejemplo donde las superficies poliédricas se definen a partir de dos números naturales, y parciales diferentes de la misma construcción tienen límites distintos, con lo cual la propiedad de aproximación para superficies poliédricas no puede ser cierta en general (sí lo es si las superficies son borde de convexos). La historia del contraejemplo de Peano también esconde otras curiosidades, como el hecho de que Peano y Schwarz encontraran el mismo contraejemplo, simultáneamente y de forma indepdendiente. Os dejo un enlace a la web de Frederick Rickey,  para que podáis leer los detalles de la historia.