Convexidad y economía

Buscando por ahí aplicaciones prácticas de la convexidad a otros campos he encontrado una entrada dedicada a la economía, tan de moda en estos tiempos. Desde luego, no es éste mi campo así que no pretenderemos ser demasiado precisos, simplemente esbozar una de tantas aplicaciones de la asignatura que estamos estudiando en clase.

Una cesta de bienes es un conjunto de valores $x_1,\ldots ,x_n$ donde cada $x_i$ es un número real no negativo. Puede representar las inversiones que tenemos en $n$ productos financieros, por ejemplo. Así, podemos parametrizar el rango de valores a tomar por una cesta de bienes como subconjunto de la región de $\mathbb{R}^n$ dada por todas sus coordenadas no negativas.

Una función de utilidad es una función $f\colon [0,\infty )^n\to \mathbb{R} $  que a cada valor de la cesta de bienes le asocia un número (normalmente no negativo) que mide cómo de útil, o rentable, nos es mantener nuestra cesta en esos valores. Si la función $f$ expresa rentabilidad, está claro que pretenderemos maximizar $f$ en el rango posible de valores de la cesta. Es natural imponer condiciones matemáticas como continuidad o diferenciabilidad a la función de utilidad, ya que debemos esperar que ante variaciones pequeñas de las variables en la cesta, la rentabilidad de la misma también varíe poco (cualquier otro comportamiento haría demasiado impredecible la economía, aunque la experiencia nos dice que eso es támbién posible, desgraciadamente).

 Muchas veces, las cestas de valores están gobernados por unas leyes (de mercado, económicas, de oferta - demanda...).  Estas leyes definen a veces conjuntos convexos de $ [0,\infty )^n$, o alternativamente, es la función de utilidad la que es convexa. La geometría de los cuerpos convexos se usa, entonces, para inferir el comportamiento que debemos tener ante una situación económica concreta: por ejemplo, entontrar un hiperplano soporte puede estar relacionado a establecer una relación lineal entre las variables que aparecen en la cesta que nos permita decidir si la situación actual tiende a mejorar o a empeorar en términos económicos.

Para leer más: http://es.wikipedia.org/wiki/Función_de_utilidad