Convexos de anchura constante: rollings, taladros y rotores

Ya hemos dicho en anteriores entradas que la geometría de convexos es útil en muy diversas situaciones. Vamos a dedicar esta entrada a poner otro ejemplo de esto; imaginemos las dos siguientes situaciones, que aparentemente no tienen nada que ver entre sí:

1. Queremos trasladar un bloque de piedra, como los usados en la construcción de las pirámides, por una superficie lisa. Para ello lo colocaremos sobre tubos, de forma que al rodar los tubos el bloque se desplace sobre ellos paralelamente al suelo. La geometría de los tubos vendrá dada por la de sus secciones, y para evitar desplazamientos  del bloque no paralelos al suelo (donde deberíamos ejercer mucha más fuerza para moverlo), la sección de cada tubo debería ser un cuerpo convexo de anchura constante. La forma más típica de hacer esto es usando tubos cilíndricos, como ya habremos imaginado. Pero ¿existe alguna otra forma de hacer esto? 
2. Queremos taladrar un agujero. Si usamos una broca convencional, el hecho de que el eje de la broca esté centrado en el centro de su sección hace que, incluso aunque la broca no sea circular, el agujero producido por ésta sea redondo. Pero, ¿y si queremos producir un agujero cuadrado, para encajar una pieza con esta forma y así evitar rotaciones en la pieza que encaje?

Los dos problemas anteriores tienen como posible solución (pero no la única) un triángulo de Reuleaux, en honor al ingeniero alemán Franz Reuleaux (1829-1905) que lo ideó. Se trata de una curva cerrada formada por tres arcos de circunferencia que unen los vértices de un triángulo equilátero, donde cada arco está centrado en el vértice opuesto a los dos extremos del arco. Hemos visto en clase que el triángulo de Reuleaux es un ejemplo de cuerpo convexo en $\mathbb{R}^2$ de anchura constante, luego es una solución al problema 1 anterior. En la figura de abajo podemos ver un triángulo de Reuleaux rodando de forma algo excéntrica, y vemos que en todo momento mantiene 4 puntos de tangencia con un cuadrado. En realidad, la región que barre el triángulo dentro del cuadrado no es la totalidad de éste sino que faltan 4 pequeñas áreas en las esquinas, que sólo suman un 1,33% del área total del cuadrado. O sea, es "casi" una solución al problema 2 anterior.

Algunas curiosidades sobre el triángulo de Reuleaux:

• Se han fabricado lápices con la sección de un triángulo de Reuleaux; la propiedad de anchura constante permite que los agarremos cómodamente, y su forma no cilíndrica hace que sean menos propicios a rodar sobre la superficie de trabajo que el lápiz cilíndrico o el hexagonal (porque el centro de gravedad tiende a subir y bajar más en el caso del triángulo de Reuleaux al rodar).
• Muchos coches Mazda usan un rotor en sus motores basado en el  triángulo de Reuleaux (en realidad es un poco más "achatado" que éste, lo que hace que la cámara en la que se mueve no sea cuadrada como arriba). El movimiento que apreciamos arriba permite que los orificios de admisión y escape del combustible no necesiten de válvulas como en el caso de pistones habituales. Esto permite construir motores con un 40% menos de peso que los normales. Este tipo de motores se llaman rotores de Wankel. Puede verse un magnífico vídeo que explica su funcionamiento aquí.
• El triángulo de Reuleaux no es más que el más sencillo de los polígonos de Reuleaux, que se construyen mediante arcos circulares uniendo parejas de vértices contiguos en un polígono regular con una cantidad impar de lados,de forma que el centro de cada arco es el vértice opuesto a los dos que se están uniendo. Todos los polígonos de Reuleaux son cuerpos convexos de anchura constante en $\mathbb{R}^2$.
• Hay monedas británicas de 20 peniques y de 50 peniques que son heptágonos de Reuleaux. Este extraño diseño permite que sean más difíciles de falsificar que las monedas habituales redondas, a la vez que pueden ser reconocidas automáticamente como monedas de curso legal por máquinas automáticas como expendedoras de cambio o tragaperras, por su propiedad de anchura constante.
• Hay una bicicleta cuyas ruedas son polígonos de Reuleaux de 3 y 5 lados. Como el radio no es de longitud constante en esas ruedas, imagino que no será la bicicleta más cómoda del mundo para rodar, porque la distancia de la horquilla de cada rueda al suelo no se mantiene constante; es más, el hecho de que una rueda sea de 3 lados y la otra de 5 hace que las frecuencias de "bacheo" de las ruedas sean distintas delante y detrás (este "bacheo" quizás podría evitarse mediante un mecanismo un mecanismo en las horquillas que varíe su longitud para que la posición relativa del ciclista no varíe con el rodamiento).
• El perímetro de una curva plana de anchura constante es siempre igual a su anchura multiplicada por $\pi $ (teorema de Barbier).
• El triángulo de Reuleaux tiene la menor área posible entre todas las figuras con su misma anchura constante (teorema de Blaschke-Lebesgue). La figura de mayor área con esta propiedad es la circunferencia (desigualdad isoperimétrica).
• Se pueden construir curvas cerradas planas de anchura constante no circulares que son diferenciables (sin picos): existe un polinomio p(x,y) de grado 8 cuyo conjunto de ceros en $\mathbb{R}^2$ es una curva no circular de anchura constante (pdf aquí)

Un poco de historia

Podíamos comenzar esta historia con Euclides. En su famoso libro "Los Elementos", allá por el año 300 a.C.), Euclides empieza a estudiar polígonos y poliedros. La primera definición de curva convexa o superficie convexa la dió Arquímedes (287–212 a.C.), en su libro “Sobre la esfera y el cilindro”. Especialmente relevante es la descripción de Arquímedes de los 5 poliedros regulares y de los 13 semirregulares o arquimedianos (poliedros cuyas caras son polígonos regulares de al menos dos tipos distintos, cuyo grupo de isometrías actúa transitivamente sobre los vértices).

En cuanto al resultado central de la asignatura, la desigualdad isoperimétrica, su origen también se remonta a la Grecia antigua: en el siglo VIII a.C., la ciudad de Tiro era gobernada por un rey (no se sabe su nombre) a cuya muerte dejó la ciudad bajo el gobierno de su hija Alyssa (también conocida como Dido) y su hijo pequeño, Pigmalión. El pueblo de Tiro prefirió ser gobernado por Pigmalión a pesar de su corta edad, y Dido se casó con su tío Acerbas, un sacerdote de Hércules famoso por sus riquezas. Después de algunos años, Pigmalión planeó el asesinato de Acerbas para quedarse con sus riquezas, y Dido decidió escapar de Tiro para salvar la vida, acompañada por algunos senadores y un pequeño séquito fieles a ella.

Tras un período de viaje, Dido y sus seguidores llegaron a la costa norte de Africa en el 814 a.C.donde ella solicitó al rey Bereber Yarbas una pequeña parcela de tierra donde pudieran establecerse temporalmente antes de continuar trayecto. Yarbas decidió concederle "tanta tierra como pudiera ser abarcada por un cuero de buey", a lo que Dido accedió. Entonces Dido cortó la piel de buey en tiras finas de modo que pudo rodear una colina cercana. De esta historia, cierta o no, surgió el problema matemático de determinar la forma de una curva que, fijada su longitud, es capaz de abarcar la mayor área posible. 

Por cierto: la circunferencia como solución del problema isoperimétrico en el plano ya era conocida por los griegos de los tiempos de Euclides (500 años después de Dido). Pero la solución escogida por Dido fue aún mejor: incluir en la zona delimitada una franja de costa. Y es que, además de las razones logísticas de elegir una salida al mar en su territorio, la semicircunferencia tiene mejor cociente isoperimétrico que la circunferencia completa, es decir: una semicircunferencia de longitud dada L abarca un semicírculo con el doble de área que el círculo encerrado por la circunferencia de longitud L. 

Continuemos con la historia: Muchos de los bereberes locales se unieron a Dido en su nueva tierra, que no fue ocupada temporalmente sino de forma permanente. Con el tiempo, la ciudad se llamó Cartago, y fue famosa por albergar una próspera república, incluso más próspera y rica que la ciudad de sus ancestros, Tiro. De hecho, Cartago llegó a contar con 400.000 habitantes y se enfrentó al imperio Romano por la hegemonía del Mediterraneo occidental. Tras un período de esplendor que duró casi 700 años, Cartago sucumbió ante el ejército romano en 146 a.C.

Actividad: Busca en internet información sobre los poliedros arquimedianos. ¿Cuáles son? ¿Qúe proceso permite obtenerlos a partir de los 5 poliedros regulares?

Convexidad y economía

Buscando por ahí aplicaciones prácticas de la convexidad a otros campos he encontrado una entrada dedicada a la economía, tan de moda en estos tiempos. Desde luego, no es éste mi campo así que no pretenderemos ser demasiado precisos, simplemente esbozar una de tantas aplicaciones de la asignatura que estamos estudiando en clase.

Una cesta de bienes es un conjunto de valores $x_1,\ldots ,x_n$ donde cada $x_i$ es un número real no negativo. Puede representar las inversiones que tenemos en $n$ productos financieros, por ejemplo. Así, podemos parametrizar el rango de valores a tomar por una cesta de bienes como subconjunto de la región de $\mathbb{R}^n$ dada por todas sus coordenadas no negativas.

Una función de utilidad es una función $f\colon [0,\infty )^n\to \mathbb{R} $  que a cada valor de la cesta de bienes le asocia un número (normalmente no negativo) que mide cómo de útil, o rentable, nos es mantener nuestra cesta en esos valores. Si la función $f$ expresa rentabilidad, está claro que pretenderemos maximizar $f$ en el rango posible de valores de la cesta. Es natural imponer condiciones matemáticas como continuidad o diferenciabilidad a la función de utilidad, ya que debemos esperar que ante variaciones pequeñas de las variables en la cesta, la rentabilidad de la misma también varíe poco (cualquier otro comportamiento haría demasiado impredecible la economía, aunque la experiencia nos dice que eso es támbién posible, desgraciadamente).

 Muchas veces, las cestas de valores están gobernados por unas leyes (de mercado, económicas, de oferta - demanda...).  Estas leyes definen a veces conjuntos convexos de $ [0,\infty )^n$, o alternativamente, es la función de utilidad la que es convexa. La geometría de los cuerpos convexos se usa, entonces, para inferir el comportamiento que debemos tener ante una situación económica concreta: por ejemplo, entontrar un hiperplano soporte puede estar relacionado a establecer una relación lineal entre las variables que aparecen en la cesta que nos permita decidir si la situación actual tiende a mejorar o a empeorar en términos económicos.

Para leer más: http://es.wikipedia.org/wiki/Función_de_utilidad