No sé si este blog os resultará útil o o no, ni de la cantidad de trabajo que va a demandar (eso dependerá en parte de vosotros y vuestra participación). Por experiencia con otras asignaturas previas, un blog puede ser una vía de comunicación dinámica sobre la asignatura, al menos más dinámica que una página web estándar donde vais descargando contenidos a lo largo del curso. La idea es que este blog sea un complemento a los contenidos desarrollados en clase, dónde comentar aspectos del "día a día" y ampliar algunos temas. Muchos de estos contenidos y material usado en la asignatura están alojados de forma más estática en la web
http://www.ugr.es/~jperez/docencia/GeomConvexos/index.html
El éxito de este blog, como el de todos, es la participación de vosotros, los usuarios.
Escribir matemáticas cómodamente
Lo primero en un blog de matemáticas es poder escribir cómodamente en lenguaje matemático. Para eso tenemos LaTeX, por ejemplo. Como no podemos compilar LaTeX en nuestro blog como hacemos habitualmente en nuestro ordenador, me he buscado por ahí un script que permite usar LaTeX en Blogger (lo que aloja este blog) vía MathJax. Por si alguno quiere usarlo, se trata de seguir los siguientes pasos:
1) Copiar el siguiente código html :
<script src='http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js' type='text/javascript'>
MathJax.Hub.Config({
extensions: ["tex2jax.js","TeX/AmsMath.js","TeX/AMSsymbols.js"],
jax: ["input/TeX","output/HTML-CSS"],
tex2jax: {
inlineMath: [ ['$','$'], ["\\(","\\)"] ],
displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ],
processEscapes: true,
},
"HTML-CSS": { availableFonts: ["TeX"] }
});
</script>
2) Pegar el código anterior justo DESPUES de <head> en el archivo del tema, que se encuentra en la pestaña "Plantillas --> Edición HTML" de Blogger., como en la siguiente imagen:
 |
| Imagen de blogger |
3) Darle a "Vista previa" para verificar que no hay problemas y luego guardar los cambios.
Una vez hecho esto, podemos escribir cosas en código LaTeX y se compilarán automáticamente al cargar la página del blog, como aquí:
\[
f\colon E\to \mathbb{S}^2, \quad f(x,y,z)=\left( \frac{x}{a}, \frac{y}{b},\frac{z}{c}\right) ,
\]
Sobre la asignatura
La Geometría de convexos es una rama de la Geometría, que estudia propiedades de sistemas convexos en el espacio Euclídeo $\mathbb{R}^n$. Un subconjunto $A$ de $\mathbb{R}^n$ se dice convexo si $\forall x,y\in A$, el segmento $[x,y]$ está contenido en $A$.Los conjuntos convexos aparecen en muchas áreas de las matemáticas: Geometría Computacional, Análisis Convexo, Geometría discreta, Análisis Funcional, Geometría Integral, Programación Lineal, Teoría de Probabilidades... y muchas más.
La Geometría de Convexos es una disciplina relativamente joven. Aunque los polígonos y poliedros convexos ya aparecen en las matemáticas de la antigua Grecia (Euclides, Arquímedes...), esta rama cobró una importancia independiente de otras dentro de las matemáticas a partir de finales del siglo XIX, con los trabajos de Brunn, Minkowski, y luego en el siglo XX con Bonnesen, Fenchel y otros.
Nosotros desarrollaremos un curso de introducción a la Geometría Convexa, con el objetivo de probar la desigualdad isoperimétrica en $\mathbb{R}^n$ para conjuntos convexos. Distribuiremos la materia en 3 temas:
- En el primer tema veremos las herramientas principales de la teoría como hiperplanos soporte, envolvente convexa o resultados de separación; y también aparecerán familias destacadas de convexos, como los politopos (generalización de los poliedros de $\mathbb{R}^3$ a dimensiones superiores).
- En cierta forma, los politopos son muy abundantes en la familia de los convexos compactos de $\mathbb{R}^n$, propiedad que nos será muy útil para probar propiedades de convexos compactos reduciéndolas al caso más manejable en que el convexo es un politopo; para dar rigor a esta "abundancia" de los politopos en los convexos compactos, en el segundo tema dotaremos a la familia $\mathcal{C}$ de convexos compactos de una topología, que vendrá dada por la distancia de Hausdorff. Con este lenguaje, probaremos que los politopos son densos en $\mathcal{C}$. Esta topología en $\mathcal{C}$ tiene además un buen comportamiento frente a muchas de las herramientas definidas hasta ahora, y presenta buenos resultados de compacidad (Teorema de Selección de Blaschke).
- En el tercer tema aprovecharemos todas la herramientas anteriores para definir el contenido de Minkowski o "área del borde" de un compacto convexo en $\mathbb{R}^n$, motivándolo a partir de la fórmula del área del borde de un dominio diferenciable y compacto $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ como derivada cuando $t=0$ del volumen del dominio paralelo $\Omega _t$ a distancia $t$ de $\partial \Omega $. A continuación estudiaremos la simetrización de Steiner, que nos permitirá dar una demostración de la desigualdad isoperimétrica, objetivo principal del curso.
Prerrequisitos
Este curso no necesita de muchos conocimientos previos, salvo algo de álgebra lineal y topología en el espacio Euclídeo. Hay una salvedad en lo anterior: para motivar en el tema 3 el contenido de Minkowski deduciremos la fórmula del área del borde de un dominio diferenciable y compacto a partir del volumen del su dominio paralelo; esto necesitará algunos conocimientos de geometría de superficies en $\mathbb{R}^3$.
